標準差- 维基百科，自由的百科全书

標準差，又稱標準偏差、均方差（英語：Standard Deviation，縮寫SD，符號σ），在概率統計中最常 ... 標準差. 統計學名詞 ... 其公式如下所列。

標準差的概念由卡爾·皮爾 ... 標準差 統計學名詞 語言 監視 編輯   「均方差」重新導向至此。

關於均方誤差（MSE），詳見「均方誤差」；關於均方根誤差（RMSE），詳見「均方根誤差」。

提示：此條目的主題不是標準誤差。

標準差，又稱標準偏差、均方差（英語：StandardDeviation，縮寫SD，符號σ），在機率統計中最常使用作為測量一組數值的離散程度之用。

標準差定義：為變異數開主平方根，反映組內個體間的離散程度；標準差與期望值之比為標準離差率。

測量到分布程度的結果，原則上具有兩種性質： 為非負數值（因為平方後再做平方根）； 與測量資料具有相同單位（這樣才能比對）。

一個總量的標準差或一個隨機變數的標準差，及一個子集合樣品數的標準差之間，有所差別。

其公式如下所列。

標準差的概念由卡爾·皮爾森引入到統計中。

目次 1闡述及應用 2母體的標準差 2.1基本定義 2.2簡化計算公式 2.3母體為隨機變量 2.3.1離散隨機變量的標準差 2.3.2連續隨機變量的標準差 2.4標準差的特殊性質 3樣本的標準差 4範例 5常態分佈的規則 6標準差與平均值之間的關係 7幾何學解釋 8參考文獻 9外部連結 闡述及應用編輯 簡單來說，標準差是一組數值自平均值分散開來的程度的一種測量觀念。

一個較大的標準差，代表大部分的數值和其平均值之間差異較大；一個較小的標準差，代表這些數值較接近平均值。

例如，兩組數的集合{0,5,9,14}和{5,6,8,9}其平均值都是7，但第二個集合具有較小的標準差。

表述「相差k個標準差」，即在X̄±kS的樣本（Sample）範圍內考量。

標準差可以當作不確定性的一種測量。

例如在物理科學中，做重複性測量時，測量數值集合的標準差代表這些測量的精確度。

當要決定測量值是否符合預測值，測量值的標準差佔有決定性重要角色：如果測量平均值與預測值相差太遠（同時與標準差數值做比較），則認為測量值與預測值互相矛盾。

這很容易理解，因為如果測量值都落在一定數值範圍之外，可以合理推論預測值是否正確。

標準差應用於投資上，可作為量度回報穩定性的指標。

標準差數值越大，代表回報遠離過去平均數值，回報較不穩定故風險越高。

相反，標準差數值越小，代表回報較為穩定，風險亦較小。

母體的標準差編輯 基本定義編輯 σ = 1 N ∑ i = 1 N ( x i − x ¯ ) 2 {\displaystyle\sigma={\sqrt{{\frac{1}{N}}\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-{\overline{x}})^{2}}}}   x ¯ {\displaystyle{\overline{x}}}  為平均值。

簡化計算公式編輯 上述公式可以如下代換而簡化： ∑ i = 1 N ( X i − μ ) 2 = ∑ i = 1 N ( X i 2 − 2 X i μ + μ 2 ) = ( ∑ i = 1 N X i 2 ) − ( 2 μ ∑ i = 1 N X i ) + N μ 2 = ( ∑ i = 1 N X i 2 ) − 2 μ ( N μ ) + N μ 2 = ( ∑ i = 1 N X i 2 ) − 2 N μ 2 + N μ 2 = ( ∑ i = 1 N X i 2 ) − N μ 2 {\displaystyle{\begin{aligned}\sum_{i=1}^{N}(X_{i}-\mu)^{2}&={}\sum_{i=1}^{N}(X_{i}^{2}-2X_{i}\mu+\mu^{2})\\&{}=\left(\sum_{i=1}^{N}X_{i}^{2}\right)-\left(2\mu\sum_{i=1}^{N}X_{i}\right)+N\mu^{2}\\&{}=\left(\sum_{i=1}^{N}X_{i}^{2}\right)-2\mu(N\mu)+N\mu^{2}\\&{}=\left(\sum_{i=1}^{N}X_{i}^{2}\right)-2N\mu^{2}+N\mu^{2}\\&{}=\left(\sum_{i=1}^{N}X_{i}^{2}\right)-N\mu^{2}\end{aligned}}}  所以： σ = 1 N ∑ i = 1 N ( X i − μ ) 2 = 1 N ( ∑ i = 1 N X i 2 ) − 1 N N μ 2 = ∑ i = 1 N X i 2 N − μ 2 {\displaystyle{\begin{aligned}\sigma&={\sqrt{{\frac{1}{N}}\sum_{i=1}^{N}(X_{i}-\mu)^{2}}}\\&={\sqrt{{\frac{1}{N}}\left(\sum_{i=1}^{N}X_{i}^{2}\right)-{\frac{1}{N}}N\mu^{2}}}\\&={\sqrt{{\frac{\sum_{i=1}^{N}X_{i}^{2}}{N}}-\mu^{2}}}\end{aligned}}}  根號裡面，亦即變異數（ σ 2 {\displaystyle\sigma^{2}}  ）的簡易口訣為：「平方和的平均」減去「平均的平方」。

母體為隨機變數編輯 一隨機變數 X {\displaystyleX}  的標準差定義為： σ = E ⁡ ( ( X − E ⁡ ( X ) ) 2 ) = E ⁡ ( X 2 ) − ( E ⁡ ( X ) ) 2 {\displaystyle\sigma={\sqrt{\operatorname{E}((X-\operatorname{E}(X))^{2})}}={\sqrt{\operatorname{E}(X^{2})-(\operatorname{E}(X))^{2}}}}  須注意並非所有隨機變數都具有標準差，因為有些隨機變數不存在期望值。

如果隨機變數 X {\displaystyleX}  為 x 1 , ⋯ , x n {\displaystylex_{1},\cdots,x_{n}}  具有相同機率，則可用上述公式計算標準差。

離散隨機變數的標準差編輯 若 X {\displaystyleX}  是由實數 x 1 , x 2 , . . . , x n {\displaystylex_{1},x_{2},...,x_{n}}  構成的離散隨機變數（英語：discreterandomvariable），且每個值的機率相等，則 X {\displaystyleX}  的標準差定義為： σ = 1 N [ ( x 1 − μ ) 2 + ( x 2 − μ ) 2 + ⋯ + ( x N − μ ) 2 ] {\displaystyle\sigma={\sqrt{{\frac{1}{N}}\left[(x_{1}-\mu)^{2}+(x_{2}-\mu)^{2}+\cdots+(x_{N}-\mu)^{2}\right]}}}  　，其中　 μ = 1 N ( x 1 + ⋯ + x N ) {\displaystyle\mu={\frac{1}{N}}(x_{1}+\cdots+x_{N})}  換成用 ∑ {\displaystyle\sum}  來寫，就成為： σ = 1 N ∑ i = 1 N ( x i − μ ) 2 {\displaystyle\sigma={\sqrt{{\frac{1}{N}}\sum_{i=1}^{N}(x_{i}-\mu)^{2}}}}  　，其中　 μ = 1 N ( x 1 + ⋯ + x N ) {\displaystyle\mu={\frac{1}{N}}(x_{1}+\cdots+x_{N})}  目前為止，與母體標準差的基本公式一致。

然而若每個 x i {\displaystylex_{i}}  可以有不同機率 p i {\displaystylep_{i}}  ，則 X {\displaystyleX}  的標準差定義為： σ = ∑ i = 1 N p i ( x i − μ ) 2 {\displaystyle\sigma={\sqrt{\sum_{i=1}^{N}p_{i}(x_{i}-\mu)^{2}}}}  　，其中　 μ = ∑ i = 1 N p i x i . {\displaystyle\mu=\sum_{i=1}^{N}p_{i}x_{i}.}  這裡， μ {\displaystyle\mu}  為 X {\displaystyleX}  的數學期望。

連續隨機變數的標準差編輯 若 X {\displaystyleX}  為機率密度 p ( X ) {\displaystylep(X)}  的連續隨機變數（英語：continuousrandomvariable），則 X {\displaystyleX}  的標準差定義為： σ = ∫ ( x − μ ) 2 f ( x ) d x {\displaystyle\sigma={\sqrt{\int(x-\mu)^{2}\,f(x)\,dx}}}  其中 μ {\displaystyle\mu}  為 X {\displaystyleX}  的數學期望： μ = ∫ x f ( x ) d x {\displaystyle\mu=\intx\,f(x)\,dx}  標準差的特殊性質編輯 對於常數 c {\displaystylec}  和隨機變數 X {\displaystyleX}  和 Y {\displaystyleY}  ： σ ( X + c ) = σ ( X ) {\displaystyle\sigma(X+c)=\sigma(X)}   σ ( c X ) = c ⋅ σ ( X ) {\displaystyle\sigma(cX)=c\cdot\sigma(X)}   σ ( X + Y ) = σ 2 ( X ) + σ 2 ( Y ) + 2 ⋅ cov ( X , Y ) {\displaystyle\sigma(X+Y)={\sqrt{\sigma^{2}(X)+\sigma^{2}(Y)+2\cdot{\mbox{cov}}(X,Y)}}}   其中： cov ( X , Y ) {\displaystyle{\mbox{cov}}(X,Y)}  表示隨機變數 X {\displaystyleX}  和 Y {\displaystyleY}  的共變異數。

σ 2 ( X ) {\displaystyle\sigma^{2}(X)}  表示 [ σ ( X ) ] 2 {\displaystyle[\sigma(X)]^{2}}  ，即 V a r ( X ) {\displaystyleVar(X)}  （ X {\displaystyleX}  的變異數），對 Y {\displaystyleY}  亦同。

樣本的標準差編輯 在真實世界中，找到一個母體的真實的標準差並不實際。

大多數情況下，母體標準差是通過隨機抽取一定量的樣本並計算樣本標準差估計的。

從一大組數值 X 1 , ⋯ , X N {\displaystyleX_{1},\cdots,X_{N}}  當中取出一樣本數值組合 x 1 , ⋯ , x n : n < N {\displaystylex_{1},\cdots,x_{n}:n