布朗運動- 維基百科，自由的百科全書

布朗運動（Brownian motion）是微小粒子或者顆粒在流體中做的無規則運動。

... 根據亞佛加厥定律，所有理想氣體在標準溫度和壓力下體積為22.414升，其中包含的原子的 ... 布朗運動 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 此條目需要精通或熟悉相關主題的編者參與及協助編輯。

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  此條目介紹的是布朗運動。

關於隨機的過程，請見「維納過程」。

關於熱力學的角度的定義，請見「熱力學溫度」。

關於and，請見「能量均分定理」。

關於數學模型，請見「隨機漫步」。

模擬的大顆粒塵埃粒子碰撞到更小的粒子，而其以不同的速度在不同方向移動的布朗運動。

粒子的立體空間進行布朗運動的示意圖。

布朗運動（Brownianmotion）是微小粒子或者顆粒在流體中做的無規則運動。

布朗運動過程是一種常態分布的獨立增量連續隨機過程。

它是隨機分析中基本概念之一。

其基本性質為：布朗運動W(t)是期望為0、方差為t（時間）的正態隨機變量。

對於任意的r小於等於s，W(t)-W(s)獨立於的W(r)，且是期望為0、方差為t-s的正態隨機變量。

可以證明布朗運動是馬爾可夫過程、鞅過程和伊藤過程。

它是在西元1827年[1]英國植物學家羅伯特·布朗利用一般的顯微鏡觀察懸浮於水中由花粉所迸裂出之微粒時，發現微粒會呈現不規則狀的運動，因而稱它布朗運動。

布朗運動也能測量原子的大小，因為就是由水中的水分子對微粒的碰撞產生的，而不規則的碰撞越明顯，就是原子越大，因此根據布朗運動，定義原子的直徑為10-8厘米。

目次 1定義 2對於布朗運動之誤解 3愛因斯坦的理論 4數學模型 4.1定義 4.2其他定義 4.3性質 4.4布朗運動的數學構造 4.4.1利用Kolmogorov一致性定理 4.4.2利用隨機過程 4.4.3利用傅立葉級數 5參見 6腳註 7外部連結 定義[編輯] 自1860年以來，許多科學家都在研究此種現象，後來發現布朗運動有下列的主要特性：[2] 粒子的運動由平移及轉移所構成，顯得非常沒規則而且其軌跡幾乎是處處沒有切線。

粒子之移動顯然互不相關，甚至於當粒子互相接近至比其直徑小的距離時也是如此。

粒子越小或液體粘性越低或溫度越高時，粒子的運動越活潑。

粒子的成分及密度對其運動沒有影響。

粒子的運動永不停止。

對於布朗運動之誤解[編輯] 值得注意的是，布朗運動指的是花粉迸出的微粒的隨機運動，而不是分子的隨機運動。

但是通過布朗運動的現象可以間接證明分子的無規則運動。

一般而言，花粉之直徑分布於30～50μm、最小亦有10μm之譜，相較之下，水分子直徑約0.3nm（非球形，故依部位而有些許差異。

），略為花粉的十萬分之一。

因此，花粉難以產生不規則振動，事實上花粉幾乎不受布朗運動之影響。

在羅伯特·布朗的手稿中，「tinyparticlesfromthepollengrainsofflowers」意味著「自花粉粒中迸出之微粒子」，而非指花粉本身。

然而在翻譯為諸國語言時，時常受到誤解，以為是「水中的花粉受布朗運動而呈現不規則運動」。

積非成是之下，在大眾一般觀念中，此誤會已然根深蒂固。

花粉具備足夠大小，幾乎無法觀測到布朗運動。

在日本，以鶴田憲次『物理學叢話』為濫觴，岩波書店『岩波理科辭典』[3]、花輪重雄『物理學読本』、湯川秀樹『素粒子』、坂田昌一『物理學原論（上）』、平凡社『理科辭典』、福岡伸一著『生物與無生物之間』，甚至日本的理科課本等等，皆呈現錯誤之敘述。

直到1973年橫浜市立大學名譽教授植物學者岩波洋造在著書『植物之SEX‐不為人知的性之世界』中，點出此誤謬之前，鮮少有人注意。

國立教育研究所物理研究室長板倉聖宣在參與製作岩波電影『迴動粒子』（1970年）時，實際攝影漂浮在水中之花粉，卻發現花粉完全沒有布朗運動。

遂於1975年3月，以「外行人與專家之間」為題，解說有關布朗運動之誤會。

愛因斯坦的理論[編輯] 在1905年，愛因斯坦提出了相關理論。

他的理論有兩個部分：第一部分定義布朗粒子擴散方程式，其中的擴散係數與布朗粒子平均平方位移相關，而第二部分連結擴散係數與可測量的物理量。

以此方式，愛因斯坦的理論可決定原子的大小，一莫耳有多少原子，或氣體的克分子量。

根據亞佛加厥定律，所有理想氣體在標準溫度和壓力下體積為22.414升，其中包含的原子的數目被稱為「亞佛加厥常數」。

由氣體的莫耳質量除以亞佛加厥常數等同原子量。

愛因斯坦論證的第一部分是，確定布朗粒子在一定的時間內運動的距離。

[4][來源請求]經典力學無法確定這個距離，因為布朗粒子將會受到大量的撞擊，每秒大約發生1014次撞擊。

[5]因此，愛因斯坦將之簡化，即討論一個布朗粒子團的運動[來源請求]。

他把粒子在一個的空間中，把布朗粒子在一維方向上的運動增量(x)視作一個隨機值（ Δ {\displaystyle\Delta} 或者x，並對其坐標進行變換，讓原點成為粒子運動的初始位置）並給出概率密度函數 φ ( Δ ) {\displaystyle\varphi(\Delta)} 。

另外，他假設粒子的數量有限，並擴大了密度（單位體積內粒子數量)，展開成泰勒級數。

ρ ( x , t ) + τ ∂ ρ ( x ) ∂ t + ⋯ = ρ ( x , t + τ ) = ∫ − ∞ + ∞ ρ ( x + Δ , t ) ⋅ φ ( Δ ) d Δ = ρ ( x , t ) ⋅ ∫ − ∞ + ∞ φ ( Δ ) d Δ + ∂ ρ ∂ x ⋅ ∫ − ∞ + ∞ Δ ⋅ φ ( Δ ) d Δ + ∂ 2 ρ ∂ x 2 ⋅ ∫ − ∞ + ∞ Δ 2 2 ⋅ φ ( Δ ) d Δ + ⋯ = ρ ( x , t ) ⋅ 1 + 0 + ∂ 2 ρ ∂ x 2 ⋅ ∫ − ∞ + ∞ Δ 2 2 ⋅ φ ( Δ ) d Δ + ⋯ {\displaystyle{\begin{aligned}\rho(x,t)+\tau{\frac{\partial\rho(x)}{\partialt}}+\cdots=\rho(x,t+\tau)={}&\int_{-\infty}^{+\infty}\rho(x+\Delta,t)\cdot\varphi(\Delta)\,\mathrm{d}\Delta\\={}&\rho(x,t)\cdot\int_{-\infty}^{+\infty}\varphi(\Delta)\,d\Delta+{\frac{\partial\rho}{\partialx}}\cdot\int_{-\infty}^{+\infty}\Delta\cdot\varphi(\Delta)\,\mathrm{d}\Delta\\&{}+{\frac{\partial^{2}\rho}{\partialx^{2}}}\cdot\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{\Delta^{2}}{2}}\cdot\varphi(\Delta)\,\mathrm{d}\Delta+\cdots\\={}&\rho(x,t)\cdot1+0+{\frac{\partial^{2}\rho}{\partialx^{2}}}\cdot\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{\Delta^{2}}{2}}\cdot\varphi(\Delta)\,\mathrm{d}\Delta+\cdots\end{aligned}}} 第一行中的第二個等式是被 φ {\displaystyle\varphi} 這個函數定義的。

第一項中的積分等於一個由概率定義函數，第二項和其他偶數項（即第一項和其他奇數項）由於空間對稱性而消失。

化簡可以得到以下關係關係： ∂ ρ ∂ t = ∂ 2 ρ ∂ x 2 ⋅ ∫ − ∞ + ∞ Δ 2 2 τ ⋅ φ ( Δ ) d Δ + (更高阶的项) {\displaystyle{\frac{\partial\rho}{\partialt}}={\frac{\partial^{2}\rho}{\partialx^{2}}}\cdot\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{\Delta^{2}}{2\,\tau}}\cdot\varphi(\Delta)\,\mathrm{d}\Delta+{\text{(更高阶的项)}}} 拉普拉斯算子之前的係數，是下一刻的隨機位移量 Δ {\displaystyle\Delta} ，讓D為質量擴散係數： D = ∫ − ∞ + ∞ Δ 2 2 τ ⋅ φ ( Δ ) d Δ {\displaystyleD=\int_{-\infty}^{+\infty}{\frac{\Delta^{2}}{2\,\tau}}\cdot\varphi(\Delta)\,\mathrm{d}\Delta} 那麼在t時刻x處的布朗粒子密度ρ滿足擴散方程： ∂ ρ ∂ t = D ⋅ ∂ 2 ρ ∂ x 2 , {\displaystyle{\frac{\partial\rho}{\partialt}}=D\cdot{\frac{\partial^{2}\rho}{\partialx^{2}}},} 假設在初始時刻t=0時，所有的粒子從原點開始運動，擴散方程的解 ρ ( x , t ) = ρ 0 4 π D t e − x 2 4 D t . {\displaystyle\rho(x,t)={\frac{\rho_{0}}{\sqrt{4\piDt}}}e^{-{\frac{x^{2}}{4Dt}}}.} 數學模型[編輯] 定義[編輯] 滿足下列條件的鞅我們稱之為布朗運動 這個鞅是關於時間連續的。

他的平方減去時間項也是一個鞅。

( M t ) {\displaystyle(M_{t})} 是一個布朗運動若且唯若 ( M t ) {\displaystyle(M_{t})} 為鞅，且 ( M t 2 − t ) {\displaystyle(M_{t}^{2}-t)} 也為鞅. 其他定義[編輯] 3000步的2維布朗運動的模擬。

播放媒體1000步的3維布朗運動模擬。

一維的定義 一維布朗運動 ( B t ) t ≥ 0 {\displaystyle\scriptstyle(B_{t})_{t\geq0}} 是關於時間t的一個隨機過程，他滿足： （獨立增量）設時間t和s滿足t>s,增量 B t − B s {\displaystyle\scriptstyleB_{t}-B_{s}} 獨立於時間s前的過程 ( B u ) 0 ≤ u ≤ s {\displaystyle\scriptstyle(B_{u})_{0\lequ\leqs}} 。

（穩定增量和正態性）設時間t和s滿足t>s,增量 B t − B s {\displaystyle\scriptstyleB_{t}-B_{s}} 服從均值為0方差為t−s的常態分布。

( B t ) t ≥ 0 {\displaystyle\scriptstyle(B_{t})_{t\geq0}} 幾乎處處連續，也就是說在任何可能性下，函數 t ↦ B t ( ω ) {\displaystyle\scriptstylet\mapstoB_{t}(\omega)} 是連續的. 通常假設 B 0 = 0 {\displaystyle\scriptstyleB_{0}=0} 。

這種布朗運動我們稱它為標準的。

等價定義 一維布朗運動 ( B t ) t ≥ 0 {\displaystyle\scriptstyle(B_{t})_{t\geq0}} 是關於時間t的一個隨機過程，他滿足： ( B t ) t ≥ 0 {\displaystyle\scriptstyle(B_{t})_{t\geq0}} 是一個高斯過程，也就是說對於所有的時間列： t 1 ≤ t 2 ≤ . . . ≤ t n {\displaystyle\scriptstylet_{1}\leqt_{2}\leq...\leqt_{n}} ,隨機向量： ( B t 1 , B t 2 , . . . , B t n ) {\displaystyle\scriptstyle(B_{t_{1}},B_{t_{2}},...,B_{t_{n}})} 服從高維高斯分布（常態分布）。

( B t ) t ≥ 0 {\displaystyle\scriptstyle(B_{t})_{t\geq0}} 幾乎處處連續。

對於所有s和t,均值 E [ B t ] = 0 {\displaystyle\scriptstyle\mathbb{E}[B_{t}]=0} ，協方差 E [ B s B t ] = m i n ( s , t ) {\displaystyle\scriptstyleE[B_{s}B_{t}]=min(s,t)} . 高維定義 ( B t ) t ≥ 0 := ( B t 1 , B t 2 , . . . , B t d ) t ≥ 0 {\displaystyle\scriptstyle(B_{t})_{t\geq0}:=\left(B_{t}^{1},B_{t}^{2},...,B_{t}^{d}\right)_{t\geq0}} 是d维布朗运动，只需满足 B 1 , B 2 , . . . , B d {\displaystyle\scriptstyleB^{1},B^{2},...,B^{d}} 为独立的布朗运动。

換句話說，d維布朗運動取值於 R d {\displaystyle\scriptstyle\mathbb{R}^{d}} ，而它在 R , R 2 , . . . , R d − 1 {\displaystyle\scriptstyle\mathbb{R},\mathbb{R}^{2},...,\mathbb{R}^{d-1}} 空間上的投影均為布朗運動。

Wiener測度的定義 設 C ( R + , R ) {\displaystyle\scriptstyle{\mathcal{C}}(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R})} 為從 R + {\displaystyle\scriptstyle\mathbb{R}^{+}} 到 R {\displaystyle\scriptstyle\mathbb{R}} 的連續函數空間， ( Ω , T , P ) {\displaystyle\scriptstyle(\Omega,{\mathcal{T}},\mathbb{P})} 為概率空間。

布朗運動為映射 B : Ω ⟶ C ( R + , R ) {\displaystyleB:\Omega\longrightarrowC(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R})}           ω ↦ ( t ↦ B t ( ω ) ) {\displaystyle\omega\mapsto\left(t\mapstoB_{t}(\omega)\right)} . Wiener測度（或稱為布朗運動的分布）設為 W ( d ω ) {\displaystyle\scriptstyleW(d\omega)} ,是映射B關於 P ( d ω ) {\displaystyle\scriptstyle\mathbb{P}(d\omega)} 的圖測度。

換句話說，W是 C ( R + , R ) {\displaystyle\scriptstyle{\mathcal{C}}(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R})} 上的一個概率測度，滿足對於任何 A ⊂ C ( R + , R ) {\displaystyle\scriptstyleA\subset{\mathcal{C}}(\mathbb{R}^{+},\mathbb{R})} ，有 W ( A ) = P ( ( B t ) t ≥ 0 ∈ A ) {\displaystyleW(A)=\mathbb{P}((B_{t})_{t\geq0}\inA)} 。

備忘 布朗運動是一種增量服從常態分布的萊維過程。

這個定義可以幫助我們證明布朗運動的很多特性，比如幾乎處處連續，軌跡幾乎處處不可微等等。

我們可以利用二次變差的期望為時間來等價定義布朗運動。

這個定義由Levy定理演化而來，即：軌跡連續且二次變差為 t {\displaystylet} 的隨機過程為布朗運動。

性質[編輯] 布朗運動的軌道幾乎處處不可微：對於任何 ω ∈ Ω {\displaystyle\scriptstyle\omega\in\Omega} ,軌道 t ↦ B t ( ω ) {\displaystyle\scriptstylet\mapstoB_{t}(\omega)} 為一個連續但是零可微的函數。

協方差 E [ B s B t ] = m i n ( s , t ) {\displaystyle\scriptstyle\mathbb{E}[B_{s}B_{t}]=min(s,t)} 。

布朗運動具有強馬氏性：對於停時T,取條件 [ T < ∞ ] {\displaystyle\scriptstyle[T0, ( B t + s − B s ) t ≥ 0 {\displaystyle\scriptstyle(B_{t+s}-B_{s})_{t\geq0}} 是一個獨立於 ( B u ) 0 ≤ u ≤ s {\displaystyle\scriptstyle(B_{u})_{0\lequ\leqs}} 的布朗運動。

-B是一個布朗運動。

（穩定性）對於c>0， ( c B t c 2 ) t ≥ 0 {\displaystyle\scriptstyle\left(cB_{\frac{t}{c^{2}}}\right)_{t\geq0}} 是布朗運動。

（時間可逆性） ( t B 1 t ) t > 0 {\displaystyle\scriptstyle\left(tB_{\frac{1}{t}}\right)_{t>0}} 在t=0之外是布朗運動。

（常返性）只有1維和2維布朗運動是常返的：       如果 d ∈ { 1 , 2 } {\displaystyle\scriptstyled\in\{1,2\}} ,集合 { t ≥ 0 , B t = x } {\displaystyle\scriptstyle\{t\geq0,B_{t}=x\}} 不是有界的，對於任何 x ∈ R d {\displaystyle\scriptstylex\in\mathbb{R}^{d}} ，       如果 d ≥ 3 , lim t → ∞ | | B t | | = + ∞ {\displaystyle\scriptstyled\geq3,\,\,\,\lim_{t\rightarrow\infty}||B_{t}||=+\infty} （幾乎處處）。

（反射原理） P [ sup 0 ≤ s ≤ t B s ≥ a ] = 2 P [ B t ≥ a ] = P [ | B t | ≥ a ] . {\displaystyle\mathbb{P}[\sup_{0\leqs\leqt}B_{s}\geqa]=2\mathbb{P}[B_{t}\geqa]=\mathbb{P}[|B_{t}|\geqa].} 布朗運動的數學構造[編輯] 利用Kolmogorov一致性定理[編輯] 設 ( f t ) t ∈ R + {\displaystyle(f_{t})_{t\in{\mathbb{R}}_{+}}} 為 L 2 ( R + ) {\displaystyleL^{2}({\mathbb{R}}_{+})} 空間中一列實值函數。

設： ∀ ( u , v ) ∈ R + ,  s ( u , v ) = ⟨ f u , f v ⟩ L 2 ( R + ) = ∫ R + f u ( x ) f v ( x ) d x {\displaystyle\forall(u,v)\in{\mathbb{R}}_{+}{\text{,}}s(u,v)={\langlef_{u},f_{v}\rangle}_{L^{2}({\mathbb{R}}_{+})}=\int_{\mathbb{R}_{+}}f_{u}(x)f_{v}(x)dx} 這列函數滿足： ∀ k ∈ N ∗ {\displaystyle\forallk\in\mathbb{N}^{*}} ，任意的 t 1 , . . . , t k ∈ R + {\displaystylet_{1},...,t_{k}\in\mathbb{R}_{+}} ,矩陣 ( s ( t i , t j ) ) 1 ≤ i , j ≤ k {\displaystyle\left(s(t_{i},t_{j})\right)_{1\leqi,j\leqk}} 為對稱半正定的。

利用Kolmogorov一致性定理，我們可以構造高斯過程 { Y t } t ∈ R + {\displaystyle\{Y_{t}\}_{t\in\mathbb{R}_{+}}} ，它的均值 m {\displaystylem} 任意，協方差為上面定義的 s {\displaystyles} 。

當 ( f t ) t ∈ R + = ( c .1 1 [ 0 , t ] ) t ∈ R + {\displaystyle(f_{t})_{t\in{\mathbb{R}}_{+}}=\left({\sqrt{c}}.1\!\!1_{[0,t]}\right)_{t\in\mathbb{R}_{+}}} ， c > 0 {\displaystylec>0} 為不依賴於t的常數， 1 1 [ 0 , t ] {\displaystyle1\!\!1_{[0,t]}} 為 [ 0 , t ] {\displaystyle[0,t]} 上的示性函數。

則： s ( u , v ) = c ∫ R 1 1 [ 0 , u ] ( s ) 1 1 [ 0 , v ] ( s ) d s = c.min ( u , v ) {\displaystyles(u,v)=c\int\limits_{\mathbb{R}}1\!\!1_{[0,u]}(s)1\!\!1_{[0,v]}(s)ds={\text{c.min}}(u,v)} 在這個情況下，矩陣 ( s ( t i , t j ) ) 1 ≤ i , j ≤ k {\displaystyle\left(s(t_{i},t_{j})\right)_{1\leqi,j\leqk}} 是對稱且正定的。

我們稱一個高斯過程為布朗運動若且唯若均值為0，協方差為s。

c = V a r ( B 1 ) {\displaystylec=Var(B_{1})} ，當 c = 1 {\displaystylec=1} 時，稱之為標準的布朗運動. 利用隨機過程[編輯] Donsker定理（1951）證明了逐漸歸一化的隨機漫步弱收斂於布朗運動。

( 1 σ n ( ∑ k = 1 [ n t ] U k + ( n t − [ n t ] ) U [ n t ] + 1 ) ) 0 ≤ t ≤ 1 ⟹ n → ∞ ( B t ) 0 ≤ t ≤ 1 {\displaystyle\left({\frac{1}{\sigma{\sqrt{n}}}}\left(\sum_{k=1}^{[nt]}U_{k}+(nt-[nt])U_{[nt]+1}\right)\right)_{0\leqt\leq1}{\underset{n\rightarrow\infty}{\Longrightarrow}}(B_{t})_{0\leqt\leq1}} 其中（Un,n≥1）獨立同分布，均值為0,方差為σ的隨機變量序列。

利用傅立葉級數[編輯] 設2列獨立的正態 N ( 0 , 1 ) {\displaystyle\scriptstyle{\mathcal{N}}(0,1)} 隨機變量序列 ( N k , k ∈ N ) {\displaystyle\scriptstyle(N_{k},k\in\mathbb{N})} 和 ( N k ′ , k ∈ N ) {\displaystyle\scriptstyle(N'_{k},k\in\mathbb{N})} 。

定義 ( B t ) t ≥ 0 {\displaystyle\scriptstyle(B_{t})_{t\geq0}} ： B t := t N 0 + ∑ k = 1 + ∞ 2 2 π k ( N k cos ⁡ ( 2 π k t − 1 ) + N k ′ sin ⁡ ( 2 π k t ) ) {\displaystyleB_{t}:=tN_{0}+\sum_{k=1}^{+\infty}{\frac{\sqrt{2}}{2\pik}}\left(N_{k}\cos(2\pikt-1)+N_{k}'\sin(2\pikt)\right)} 為布朗運動。

參見[編輯] 維納過程 腳註[編輯] ^部分紀錄為1828年。

^李育嘉.漫談布朗運動.[2012-12-14].（原始內容存檔於2019-07-18）.  ^該辭典已於1987年所發行之第四版中修正。

^BROWNIANMOTION. :5.  ^Feynman,R.TheBrownianMovement.TheFeynmanLecturesofPhysics,VolumeI.1964:41Template:Hyphen1[2018-02-05].（原始內容存檔於2021-02-14）.  外部連結[編輯] 漫談布朗運動（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） https://web.archive.org/web/20171109201456/http://www.sciencedirect.com/topics/pharmacology-toxicology-and-pharmaceutical-science/brownian-motion 閱論編碎形特性 分形維數 Assouad維數（英語：Assouaddimension） 關聯維數（英語：Correlationdimension） 豪斯多夫維數 計盒維數 填充維數（英語：Packingdimension） 拓撲維數 遞歸 自相似 Barnsleyfern（英語：Barnsleyfern）迭代函數系統 巴恩斯利蕨葉（英語：Barnsleyfern） 康托爾集 龍形曲線 科赫雪花 門格海綿 謝爾賓斯基地毯 謝爾賓斯基三角形 空間填充曲線（英語：Space-fillingcurve） T型方間（英語：T-square(fractal)） 魏爾斯特拉斯函數 單峰映象 萊維C形曲線 希爾伯特曲線 奇異吸子 多重分形系統（英語：Multifractalsystem） L系統 分形灌木（英語：Fractalcanopy） H樹 空間填充曲線（英語：Space-fillingcurve） 逃逸時間分形 曼德博集合 朱利亞集合 朱利亞填充集合（英語：FilledJuliaset） 李亞普諾夫分形（英語：Lyapunovfractal） 牛頓分形（英語：Newtonfractal） 燃燒巨輪分形（英語：BurningShipfractal） 三角帽分形（英語：Tricorn(mathematics)） 渲染技術 佛像分形 軌跡陷阱（英語：Orbittrap） Pickover杆（英語：Pickoverstalk） 隨機分形 布朗運動 布朗樹（英語：Browniantree） 布朗馬達 分形地形（英語：Fractallandscape） 擴散限制凝聚（英語：Diffusion-limitedaggregation） 萊維飛行（英語：Lévyflight） 曼德爾盒（英語：Mandelbox） 曼德爾球 逾滲理論 自避行走 學者 格奧爾格·康托爾 費利克斯·豪斯多夫 加斯東·朱利亞（英語：GastonJulia） 海里格·馮·科赫 保羅·皮埃爾·萊維 亞歷山大·李亞普諾夫 本華·曼德博 劉易斯·弗雷·理查森（英語：LewisFryRichardson） 瓦茨瓦夫·謝爾賓斯基 其他相關 「《英國的海岸線有多長？統計自相似和分數維度》」 海岸線悖論（英語：Coastlineparadox） 以豪斯多夫維數排列的分形列表（英語：ListoffractalsbyHausdorffdimension） 《分形之美（英語：TheBeautyofFractals）》(1986) 分形藝術（英語：Fractalart） 《混沌學傳奇（英語：Chaos:MakingaNewScience）》(1987) 《大自然的分形幾何學（英語：TheFractalGeometryofNature）》(1982) 分形壓縮 仿射變換 規範控制 BNF:cb11979550d(data) GND:4128328-4 LCCN:sh85017266 NDL:00560924 NKC:ph195850 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=布朗运动&oldid=67903248」 分類：隨機過程統計力學阿爾伯特·愛因斯坦隱藏分類：自2015年12月需要專業人士關注的頁面有未列明來源語句的條目包含BNF標識符的維基百科條目包含GND標識符的維基百科條目包含LCCN標識符的維基百科條目包含NDL標識符的維基百科條目包含NKC標識符的維基百科條目 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 已展開 已摺疊 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 已展開 已摺疊 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他專案 維基共享資源 其他語言 AfrikaansالعربيةAsturianuAzərbaycancaБеларускаяБългарскиবাংলাCatalàČeštinaЧӑвашлаCymraegDanskDeutschΕλληνικάEnglishEsperantoEspañolEestiEuskaraفارسیSuomiFrançaisGaeilgeעבריתहिन्दीHrvatskiKreyòlayisyenMagyarՀայերենBahasaIndonesiaIdoItaliano日本語Қазақшаಕನ್ನಡ한국어LietuviųLatviešuМакедонскиBahasaMelayuMaltiNederlandsNorsknynorskNorskbokmålPolskiپنجابیPortuguêsRomânăРусскийSrpskohrvatski/српскохрватскиSimpleEnglishSlovenčinaSlovenščinaСрпски/srpskiSundaSvenskaதமிழ்తెలుగుไทยTagalogTürkçeУкраїнськаOʻzbekcha/ўзбекчаTiếngViệt吴语粵語 編輯連結