重心坐標- 維基百科，自由的百科全書

數學中，重心坐標是由單形（如三角形或四面體等）頂點定義的坐標。

重心坐標是齊次坐標的一種。

... 利用笛卡爾坐標中的三角形面積公式：. 重心坐標 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 數學中，重心坐標是由單形（如三角形或四面體等）頂點定義的坐標。

重心坐標是齊次坐標的一種。

設v1,...,vn是向量空間V中一個單形的頂點，如果V中某點p滿足， ( λ 1 + ⋯ + λ n ) p = λ 1 v 1 + ⋯ + λ n v n , {\displaystyle(\lambda_{1}+\cdots+\lambda_{n})\,p=\lambda_{1}\,v_{1}+\cdots+\lambda_{n}\,v_{n},} 那麼我們稱係數（λ1,...,λn）是p關於v1,...,vn的重心坐標。

這些頂點自己的坐標分別是（1,0,0,...,0），（0,1,0,...,0）,...,（0,0,0,...,1）。

重心坐標不是惟一的：對任何不等於零的k，（kλ1,...,kλn）也是p的重心坐標。

但總可以取坐標滿足 λ1+...+λn=1，稱為正規化坐標。

注意到定義式在仿射變換下不變，故重心坐標具有仿射不變性。

如果坐標分量都非負，則p在v1,...,vn的凸包內部，即由這些頂點組成的單形包含p。

我們設想如果有質量λ1,...,λn分別位於單形的頂點，那麼質量中心就是p。

這是術語「重心」的起源，1827年由奧古斯特·費迪南德·莫比烏斯最初引入。

目次 1三角形的重心坐標 1.1坐標變換 1.2判斷一點的位置 1.3應用 2四面體的重心坐標 3參考文獻 4外部連結 三角形的重心坐標[編輯] 在三角形情形中，重心坐標也叫面積坐標，因為P點關於三角形ABC的重心坐標和三角形PBC,PCA及PAB的（有向）面積成比例，證明如下（如右圖所示）。

我們用黑體小寫字母表示對應點的向量，比如三角形ABC頂點為 a , b {\displaystyle{\textbf{a}}\,,{\textbf{b}}\,} 和 c {\displaystyle{\textbf{c}}\,} ，P點為 p {\displaystyle{\textbf{p}}} 等。

設PBC,PCA及PAB面積之比為 λ 1 : λ 2 : λ 3 {\displaystyle\lambda_{1}:\lambda_{2}:\lambda_{3}\,} 且 λ 1 + λ 2 + λ 3 = 1 {\displaystyle\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}=1} ，設射線AP與BC交於D，則 B D : D C = λ 3 : λ 2 , {\displaystyleBD:DC=\lambda_{3}:\lambda_{2},} 從而 d = λ 2 b + λ 3 c λ 2 + λ 3 , {\displaystyle{\textbf{d}}={\frac{\lambda_{2}{\textbf{b}}+\lambda_{3}{\textbf{c}}}{\lambda_{2}+\lambda_{3}}},} A P : P D = ( λ 2 + λ 3 ) : λ 1 {\displaystyleAP:PD=(\lambda_{2}+\lambda_{3}):\lambda_{1}} ，故 p = ( λ 2 + λ 3 ) d + λ 1 a λ 1 + λ 2 + λ 3 , {\displaystyle{\textbf{p}}={\frac{(\lambda_{2}+\lambda_{3}){\textbf{d}}+\lambda_{1}{\textbf{a}}}{\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}}}\,,} p = λ 1 a + λ 2 b + λ 3 c . {\displaystyle{\textbf{p}}=\lambda_{1}{\textbf{a}}+\lambda_{2}{\textbf{b}}+\lambda_{3}{\textbf{c}}\,.} 所以， ( λ 1 , λ 2 , λ 3 ) {\displaystyle(\lambda_{1},\lambda_{2},\lambda_{3})} 就是P的重心坐標。

坐標變換[編輯] 給定三角形平面一點P，我們將這一點的面積坐標 λ 1 {\displaystyle\lambda_{1}\,} ， λ 2 {\displaystyle\lambda_{2}\,} 和 λ 3 {\displaystyle\lambda_{3}\,} 用笛卡爾坐標表示出來。

利用笛卡爾坐標中的三角形面積公式： S ( A B C ) = 1 2 | 1 x a y a 1 x b y b 1 x c y c | {\displaystyleS(ABC)={\frac{1}{2}}{\begin{vmatrix}1&x_{a}&y_{a}\\1&x_{b}&y_{b}\\1&x_{c}&y_{c}\\\end{vmatrix}}} 我們可得： λ 1 = S ( P B C ) / S ( A B C ) = | 1 x p y p 1 x b y b 1 x c y c | / | 1 x a y a 1 x b y b 1 x c y c | {\displaystyle\lambda_{1}=S(PBC)/S(ABC)={\begin{vmatrix}1&x_{p}&y_{p}\\1&x_{b}&y_{b}\\1&x_{c}&y_{c}\\\end{vmatrix}}/{\begin{vmatrix}1&x_{a}&y_{a}\\1&x_{b}&y_{b}\\1&x_{c}&y_{c}\\\end{vmatrix}}} 類似地有 λ 2 , λ 3 {\displaystyle\lambda_{2},\lambda_{3}} ，注意ABC構成一個三角形，上式的分母不可能為0。

反過來則簡單得多： p = λ 1 a + λ 2 b + λ 3 c , {\displaystyle{\textbf{p}}=\lambda_{1}{\textbf{a}}+\lambda_{2}{\textbf{b}}+\lambda_{3}{\textbf{c}},} 故 x p = λ 1 x a + λ 2 x b + λ 3 x c , {\displaystylex_{p}=\lambda_{1}x_{a}+\lambda_{2}x_{b}+\lambda_{3}x_{c},} 和 y p = λ 1 y a + λ 2 y b + λ 3 y c . {\displaystyley_{p}=\lambda_{1}y_{a}+\lambda_{2}y_{b}+\lambda_{3}y_{c}.} 判斷一點的位置[編輯] 因重心坐標是笛卡爾坐標的一個線性變換，從而它們在邊和三角形區域之間的變化是線性的。

如果點在三角形內部，那麼所有重心坐標屬於開區間 ( 0 , 1 ) {\displaystyle(0,1)} ；如果一點在三角形的邊上，至少有一個面積坐標 λ 1...3 {\displaystyle\lambda_{1...3}} 為0，其餘分量位於閉區間 [ 0 , 1 ] {\displaystyle[0,1]} 。

如果有某個坐標小於0，則位於三角形外部，具體分布可參考上圖。

（圖示中，B和C頂端的坐標正負反了，B的應該是（-,-,+），C的是（-,+,-） 應用[編輯] 面積坐標在涉及到三角形子區域的工程學問題時特別有用，經常可以化簡解析積分求值，高斯積分法表也常以面積坐標的形式給出。

考慮由頂點 v 1 {\displaystyle{\textbf{v}}_{1}\,} , v 2 {\displaystyle{\textbf{v}}_{2}\,} 和 v 3 {\displaystyle{\textbf{v}}_{3}\,} 定義的三角形T，任何在三角形內部的點 p {\displaystyle{\textbf{p}}} 都能寫成頂點的加權和： p = λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + λ 3 v 3 , {\displaystyle{\textbf{p}}=\lambda_{1}{\textbf{v}}_{1}+\lambda_{2}{\textbf{v}}_{2}+\lambda_{3}{\textbf{v}}_{3},} 這裡 λ 1 {\displaystyle\lambda_{1}\,} 、 λ 2 {\displaystyle\lambda_{2}\,} 和 λ 3 {\displaystyle\lambda_{3}\,} 是面積坐標。

注意到 λ 3 = 1 − λ 1 − λ 2 {\displaystyle\lambda_{3}=1-\lambda_{1}-\lambda_{2}\,} 。

從而，函數 f {\displaystylef} 在T上的積分為： ∫ T f ( p )   d s = 2 S ∫ 0 1 ∫ 0 1 − λ 2 f ( λ 1 v 1 + λ 2 v 2 + ( 1 − λ 1 − λ 2 ) v 3 )   d λ 1   d λ 2 {\displaystyle\int_{T}f({\textbf{p}})\ds=2S\int_{0}^{1}\int_{0}^{1-\lambda_{2}}f(\lambda_{1}{\textbf{v}}_{1}+\lambda_{2}{\textbf{v}}_{2}+(1-\lambda_{1}-\lambda_{2}){\textbf{v}}_{3})\d\lambda_{1}\d\lambda_{2}\,} 這裡S是三角形T的面積。

注意上式具有線性插值的形式。

重心坐標提供了一種非結構網格上函數插值的方法，假設函數值在所有網格的頂點上已知。

如果 0 ≤ λ i ≤ 1 ∀ i ∈ 1 , 2 , 3 {\displaystyle0\leq\lambda_{i}\leq1\;\forall\;i\in{1,2,3}} ，則點 p {\displaystyle{\textbf{p}}} 位於三角形內部或邊界上。

我們取 f {\displaystylef} 的插值為 f ( p ) = λ 1 f ( v 1 ) + λ 2 f ( v 2 ) + λ 3 f ( v 3 ) , {\displaystylef({\textbf{p}})=\lambda_{1}f({\textbf{v}}_{1})+\lambda_{2}f({\textbf{v}}_{2})+\lambda_{3}f({\textbf{v}}_{3}),} 這個線性插值是自動正規的因為 λ 1 + λ 2 + λ 3 = 1 {\displaystyle\lambda_{1}+\lambda_{2}+\lambda_{3}=1} 。

四面體的重心坐標[編輯] 重心坐標容易推廣到三維空間。

3維單形即四面體，具有四個三角形面和四個頂點。

完全類似於三角形，四面體 v 1 , v 2 , v 3 , v 4 {\displaystyle{\textbf{v}}_{1},{\textbf{v}}_{2},{\textbf{v}}_{3},{\textbf{v}}_{4}} 的頂點 v 1 {\displaystyle{\textbf{v}}_{1}} 的重心坐標為（1,0,0,0）， v 2 {\displaystyle{\textbf{v}}_{2}} 為（0,1,0,0），如是等等。

點 p {\displaystyle{\textbf{p}}} 的笛卡爾坐標和為關於四面體 v 1 , v 2 , v 3 , v 4 {\displaystyle{\textbf{v}}_{1},{\textbf{v}}_{2},{\textbf{v}}_{3},{\textbf{v}}_{4}} 的重心坐標的關係： λ 1 = Vol ( P V 2 V 3 V 4 ) / Vol ( V 1 V 2 V 3 V 4 ) , λ 2 = ⋯ . {\displaystyle\lambda_{1}={\text{Vol}}(PV_{2}V_{3}V_{4})/{\text{Vol}}(V_{1}V_{2}V_{3}V_{4}),\;\lambda_{2}=\cdots.} 這裡 Vol ( V 1 V 2 V 3 V 4 ) {\displaystyle{\text{Vol}}(V_{1}V_{2}V_{3}V_{4})} 為 v 1 , v 2 , v 3 , v 4 {\displaystyle{\textbf{v}}_{1},{\textbf{v}}_{2},{\textbf{v}}_{3},{\textbf{v}}_{4}} 組成的四面體的體積，類似於三角形也可以用笛卡爾坐標的一個行列式表示出來。

3維重心坐標和2維一樣，可以確定一點是否位於四面體內部，也能對四面體網格上函數插值。

因為利用重心坐標可以極大地簡化3維插值，四面體網格經常用於有限元分析。

參考文獻[編輯] Bradley,ChristopherJ.TheAlgebraofGeometry:Cartesian,ArealandProjectiveCo-ordinates.Bath:Highperception.2007.ISBN 978-1-906338-00-8.  埃里克·韋斯坦因.ArealCoordinates.MathWorld.  埃里克·韋斯坦因.BarycentricCoordinates.MathWorld.  外部連結[編輯] 重心坐標：一個有意思的運用（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）（解「三杯子問題」）位於cut-the-knot 齊次重心坐標在平面歐幾里得幾何中的運用 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=重心坐标&oldid=70496087」 分類：​線性代數仿射幾何三角形幾何坐標系 導覽選單 個人工具 沒有登入討論貢獻建立帳號登入 命名空間 條目討論 臺灣正體 不转换简体繁體大陆简体香港繁體澳門繁體大马简体新加坡简体臺灣正體 查看 閱讀編輯檢視歷史 更多 搜尋 導航 首頁分類索引特色內容新聞動態近期變更隨機條目資助維基百科 說明 說明維基社群方針與指引互助客棧知識問答字詞轉換IRC即時聊天聯絡我們關於維基百科 工具 連結至此的頁面相關變更上傳檔案特殊頁面靜態連結頁面資訊引用此頁面維基數據項目 列印/匯出 下載為PDF可列印版 其他語言 العربيةDeutschEnglishEspañolفارسیSuomiFrançaisעבריתItalianoNederlandsNorskbokmålPolskiPortuguêsРусскийSlovenščinaSvenskaУкраїнськаTiếngViệt 編輯連結