連續性方程式- 维基百科，自由的百科全书

在物理學裏，連續性方程式（英語：continuity equation）乃是描述守恆量傳輸行為的偏微分方程式。

... 的流量密度（物理量每單位面積每單位時間）的向量函數（vector function）， s ... 連續性方程式 語言 監視 編輯 在物理學裏，連續性方程式（英語：continuityequation）乃是描述守恆量傳輸行為的偏微分方程式。

由於在各自適當條件下，質量、能量、動量、電荷等等，都是守恆量，很多種傳輸行為都可以用連續性方程式來描述。

連續性方程式乃是局域性的守恆定律方程式。

與全域性的守恆定律相比，這種守恆定律比較強版。

在本條目內的所有關於連續性方程式的範例都表達同樣的點子──在任意區域內某種守恆量總量的改變，等於從邊界進入或離去的數量；守恆量不能夠增加或減少，只能夠從某一個位置遷移到另外一個位置。

每一種連續性方程式都可以以積分形式表達（使用通量積分），描述任意有限區域內的守恆量；也可以以微分形式表達（使用散度算符），描述任意位置的守恆量。

應用散度定理，可以從微分形式推導出積分形式，反之亦然。

目次 1概論 1.1微分形式 1.2積分形式 2電磁理論 2.1馬克士威-安培方程式滿足局域電荷守恆的連續性方程式 2.2四維電流 3流體力學 4能量 5量子力學 5.1連續方程式與機率保守定律 5.2連續方程式導引 6參閱 7參考文獻 概論編輯 微分形式編輯 一般的連續性方程式，其微分形式為 ∂ φ ∂ t + ∇ ⋅ f = s {\displaystyle{\frac{\partial\varphi}{\partialt}}+\nabla\cdot\mathbf{f}=s}  ；其中， φ {\displaystyle\varphi}  是某物理量 q {\displaystyleq}  的密度（物理量每單位體積）， f {\displaystyle\mathbf{f}}  是 q {\displaystyleq}  的流量密度（物理量每單位面積每單位時間）的向量函數（vectorfunction）， s {\displaystyles}  是 q {\displaystyleq}  的生成量每單位體積每單位時間。

假若 s > 0 {\displaystyles>0}  則稱 s {\displaystyles}  為「源點」；假若 s < 0 {\displaystyles<0}  則稱 s {\displaystyles}  為「匯點」。

假設 φ {\displaystyle\varphi}  是守恆量，不能夠生成或湮滅（例如，電荷），則 s = 0 {\displaystyles=0}  ，連續性方程式變為 ∂ φ ∂ t + ∇ ⋅ f = 0 {\displaystyle{\frac{\partial\varphi}{\partialt}}+\nabla\cdot\mathbf{f}=0}  。

從簡單的「能量連續性方程式」到複雜的納維-斯托克斯方程式，這方程式可以用來表示任意連續性方程式。

這方程式也是平流方程式（advectionequation）的推廣。

其它物理學裏的方程式，像電場的高斯定律或高斯重力定律（Gauss'lawforgravity），都具有類似連續性方程式的數學形式，但是通常不會稱為連續性方程式，因為 f {\displaystyle\mathbf{f}}  並不代表真實物理量的流動。

積分形式編輯  在連續性方程式的積分形式裏， S {\displaystyle\mathbb{S}}  是包住體積 V {\displaystyle\mathbb{V}}  的任意閉曲面。

如同圖內左邊的曲面（以藍色顯示）， S {\displaystyle\mathbb{S}}  沒有邊界；而圖內右邊的曲面都有邊界（以紅色顯示）。

根據散度定理，連續性方程式可以寫為等價的積分形式： d Q d t + ∮ S f ⋅ d a = S {\displaystyle{\frac{\mathrm{d}Q}{\mathrm{d}t}}+\oint_{\mathbb{S}}\mathbf{f}\cdot\mathrm{d}\mathbf{a}=S}  ；其中， S {\displaystyle\mathbb{S}}  是包住體積 V {\displaystyle\mathbb{V}}  的任意固定（不隨時間改變）閉曲面， Q {\displaystyleQ}  是在體積 V {\displaystyle\mathbb{V}}  內的 q {\displaystyleq}  總量， S = ∫ V s   d 3 r {\displaystyleS=\int_{\mathbb{V}}s\\mathrm{d}^{3}r}  是在積分體積 V {\displaystyle\mathbb{V}}  內源點與匯點的總生成量每單位時間， d a {\displaystyle\mathrm{d}\mathbf{a}}  是微小面向量積分元素。

舉一簡例，假設 V {\displaystyle\mathbb{V}}  是台北101大樓， Q {\displaystyleQ}  是在大樓內某時間的總人數， S {\displaystyle\mathbb{S}}  是由門口、牆壁、屋頂、地基等等，共同組成的曲面，則連續性方程式表明，當人們進入大樓時（代表穿過曲面的內向通量），或當大樓裏面的孕婦生產時（代表源點的 s > 0 {\displaystyles>0}  ），在大樓裏面的總人數會增加；而當人們離開大樓時（代表穿過曲面的外向通量），在大樓裏面的總人數會減少。

電磁理論編輯 主條目：電荷守恆 在電磁理論裏，連續性方程式可以視為一條經驗定律，表達局域電荷守恆，或是從馬克士威方程組推導出的結果。

「電荷連續性方程式」表明，電荷密度 ρ {\displaystyle\rho}  的變率與電流密度 J {\displaystyle\mathbf{J}}  的散度，兩者的代數和等於零： ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ J = 0 {\displaystyle{\frac{\partial\rho}{\partialt}}+\nabla\cdot\mathbf{J}=0}  。

馬克士威-安培方程式滿足局域電荷守恆的連續性方程式編輯 馬克士威-安培方程式為 ∇ × B = μ 0 J + μ 0   ϵ 0 ∂ E ∂ t {\displaystyle\nabla\times\mathbf{B}=\mu_{0}\mathbf{J}+\mu_{0}\\epsilon_{0}{\frac{\partialE}{\partialt}}}  ；其中， B {\displaystyle\mathbf{B}}  是磁場， E {\displaystyle\mathbf{E}}  是電場， μ 0 {\displaystyle\mu_{0}}  是磁常數， ϵ 0 {\displaystyle\epsilon_{0}}  是電常數。

取散度於方程式的兩邊，由於旋度的散度必是零， 0 = μ 0 ∇ ⋅ J + μ 0 ϵ 0 ∂ ( ∇ ⋅ E ) ∂ t {\displaystyle0=\mu_{0}\nabla\cdot\mathbf{J}+\mu_{0}\epsilon_{0}{\frac{\partial(\nabla\cdot\mathbf{E})}{\partialt}}}  。

高斯定律的方程式為 ∇ ⋅ E = ρ / ϵ 0 {\displaystyle\nabla\cdot\mathbf{E}=\rho/\epsilon_{0}}  。

將這方程式代入，可以得到 ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ J = 0 {\displaystyle{\frac{\partial\rho}{\partialt}}+\nabla\cdot\mathbf{J}=0}  。

電流是電荷的流量。

連續性方程式可以這樣論述：假若電荷從某微小體積元素移動出去（電流密度的散度是正值），則在那微小體積元素內的總電荷量會減少，電荷密度的變率是負值。

從這解釋可以察覺，連續性方程式就是電荷守恆。

四維電流編輯 四維電流密度定義為 J α   = d e f   ( c ρ , J ) = ( c ρ , J x , J y , J z ) {\displaystyleJ^{\alpha}\{\stackrel{def}{=}}\(c\rho,\mathbf{J})=(c\rho,J_{x},J_{y},J_{z})}  ；其中， α {\displaystyle\alpha}  標記哪一個時空坐標， c {\displaystylec}  是光速。

電荷守恆可以簡潔地表達為四維電流密度的散度，即連續性方程式 ∂ α J α = 0 {\displaystyle\partial_{\alpha}J^{\alpha}=0}  ；其中， ∂ α   = d e f   ( ∂ ∂ r 0 , ∂ ∂ r 1 , ∂ ∂ r 2 , ∂ ∂ r 3 ) = ( ∂ c ∂ t , ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z ) {\displaystyle\partial_{\alpha}\{\stackrel{def}{=}}\\left({\frac{\partial}{\partialr^{0}}},{\frac{\partial}{\partialr^{1}}},{\frac{\partial}{\partialr^{2}}},{\frac{\partial}{\partialr^{3}}}\right)=\left({\frac{\partial}{c\partialt}},{\frac{\partial}{\partialx}},{\frac{\partial}{\partialy}},{\frac{\partial}{\partialz}}\right)}  。

流體力學編輯 在流體力學裏，連續性方程式表明，在任何穩定態過程中，質量進入物理系統的速率等於離開的速率。

[1][2]。

連續性方程式類比於電路學的克希荷夫電流定律。

「質量連續性方程式」的微分形式為[1] ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ ( ρ u ) = 0 {\displaystyle{\frac{\partial\rho}{\partialt}}+\nabla\cdot(\rho\mathbf{u})=0}  ；其中， ρ {\displaystyle\rho}  是流體質量密度， u {\displaystyle\mathbf{u}}  是流速向量場，兩者相乘後為質量通量。

假設流體是不可壓縮流，則密度 ρ {\displaystyle\rho}  是常數，質量連續性方程式簡化為體積連續性方程式：[1] ∇ ⋅ ( u ) = 0 {\displaystyle\nabla\cdot(\mathbf{u})=0}  。

這意味著，在所有位置，速度場的散度等於零；也就是說，局域的體積變率為零。

在另一方面，納維-斯托克斯方程式是一個向量連續性方程式，描述動量守恆。

能量編輯 根據能量守恆，能量只能夠傳輸，不能夠生成或湮滅，這導致「能量連續性方程式」。

這是在熱力學定律（Lawsofthermodynamics）外，又一種關於能量守恆的數學論述。

以方程式表達， ∂ u ∂ t + ∇ ⋅ q = 0 {\displaystyle{\frac{\partialu}{\partialt}}+\nabla\cdot\mathbf{q}=0}  ；其中， u {\displaystyleu}  是能量密度（能量每單位體積）， q {\displaystyleq}  是能量通量向量（數值大小為傳輸的能量每單位截面面積每單位時間，方向為截面的法向方向）。

根據傅立葉定律（Fourier'slaw），對於均勻傳導介質， q = − k ∇ T {\displaystyle\mathbf{q}=-k\nablaT}  ；其中， k {\displaystylek}  是熱導率， T {\displaystyleT}  是溫度函數。

能量連續性方程式又可寫為 ∂ u ∂ t − k ∇ 2 T = 0 {\displaystyle{\frac{\partialu}{\partialt}}-k\nabla^{2}T=0}  。

量子力學編輯 主條目：機率流 在量子力學裏，從機率守恆可以得到「機率連續性方程式」。

設定一個量子系統的波函數為 Ψ ( x , t ) {\displaystyle\Psi(x,t)}  。

定義機率流 J {\displaystyle\mathbf{J}}  為 J   = d e f   ℏ 2 m i ( Ψ ∗ ∇ Ψ − Ψ ∇ Ψ ∗ ) = ℏ m Im ( Ψ ∗ ∇ Ψ ) {\displaystyle\mathbf{J}\{\stackrel{def}{=}}\{\frac{\hbar}{2mi}}\left(\Psi^{*}{\boldsymbol{\nabla}}\Psi-\Psi{\boldsymbol{\nabla}}\Psi^{*}\right)={\frac{\hbar}{m}}{\mbox{Im}}(\Psi^{*}{\boldsymbol{\nabla}}\Psi)}  ；其中， ℏ {\displaystyle\hbar}  是約化普朗克常數， m {\displaystylem}  是質量， Ψ ∗ {\displaystyle\Psi^{*}}  是 Ψ {\displaystyle\Psi}  是共軛複數， Im ( ) {\displaystyle{\mbox{Im}}()}  是取括弧內項目的複值。

連續方程式與機率保守定律編輯 機率流滿足量子力學的連續方程式： ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ J = 0 {\displaystyle{\frac{\partial\rho}{\partialt}}+{\boldsymbol{\nabla}}\cdot\mathbf{J}=0}  ；其中， ρ = | Ψ | 2 {\displaystyle\rho=|\Psi|^{2}}  是機率密度。

應用高斯公式，等價地以積分方程式表示， d d t ∫ V | Ψ | 2 d 3 r + ∮ S J ⋅ d a = 0 {\displaystyle{\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}\int_{\mathbb{V}}|\Psi|^{2}\mathrm{d}^{3}{r}+\oint_{\mathbb{S}}\mathbf{J}\cdot{\mathrm{d}\mathbf{a}}=0}  ；(1)其中， V {\displaystyle\mathbb{V}}  是任意三維區域， S {\displaystyle\mathbb{S}}  是 V {\displaystyle\mathbb{V}}  的邊界曲面。

這就是量子力學機率守恆定律的方程式。

方程式(1)左邊第一個體積積分項目（不包括對於時間的偏微分），即是測量粒子位置時，粒子在 V {\displaystyle\mathbb{V}}  內的機率。

第二個曲面積分是機率流出 V {\displaystyle\mathbb{V}}  的通量。

總之，方程式(1)表明，粒子在三維區域 V {\displaystyle\mathbb{V}}  內的機率對於時間的微分，加上機率流出三維區域 V {\displaystyle\mathbb{V}}  的通量，兩者的總和等於零。

連續方程式導引編輯 測量粒子在三維區域 V {\displaystyle\mathbb{V}}  內的機率 P {\displaystyleP}  是 P = ∫ V ρ d 3 r = ∫ V | Ψ | 2 d 3 r {\displaystyleP=\int_{\mathbb{V}}\rho\,\mathrm{d}^{3}\mathbf{r}=\int_{\mathbb{V}}|\Psi|^{2}\,\mathrm{d}^{3}\mathbf{r}}  。

機率對於時間的導數是 d P d t = d d t ∫ V | Ψ | 2 d 3 r = ∫ V ( ∂ Ψ ∂ t Ψ ∗ + Ψ ∂ Ψ ∗ ∂ t ) d 3 r {\displaystyle{\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}}={\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}}\int_{\mathbb{V}}|\Psi|^{2}\,\mathrm{d}^{3}{r}=\int_{\mathbb{V}}\left({\frac{\partial\Psi}{\partialt}}\Psi^{*}+\Psi{\frac{\partial\Psi^{*}}{\partialt}}\right)\,\mathrm{d}^{3}{r}}  ；(2)假設 Ψ {\displaystyle\Psi}  的含時薛丁格方程式為 i ℏ ∂ Ψ ∂ t = − ℏ 2 2 m ∇ 2 Ψ + U Ψ {\displaystylei\hbar{\frac{\partial\Psi}{\partialt}}={\frac{-\hbar^{2}}{2m}}\nabla^{2}\Psi+U\Psi}  ；其中， U ( r ) {\displaystyleU(\mathbf{r})}  是位勢。

將含時薛丁格方程式代入方程式(2)，可以得到 d P d t = − ∫ V ℏ 2 m i ( Ψ ∗ ∇ 2 Ψ − Ψ ∇ 2 Ψ ∗ ) d 3 r {\displaystyle{\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}}=-\int_{\mathbb{V}}{\frac{\hbar}{2mi}}\left(\Psi^{*}\nabla^{2}\Psi-\Psi\nabla^{2}\Psi^{*}\right)\,\mathrm{d}^{3}{r}}  。

應用一則向量恆等式，可以得到 ∇ ⋅ ( Ψ ∗ ∇ Ψ − Ψ ∇ Ψ ∗ ) = ∇ Ψ ∗ ⋅ ∇ Ψ + Ψ ∗ ∇ 2 Ψ − ∇ Ψ ⋅ ∇ Ψ ∗ − Ψ ∇ 2 Ψ ∗ {\displaystyle{\boldsymbol{\nabla}}\cdot\left(\Psi^{*}{\boldsymbol{\nabla}}\Psi-\Psi{\boldsymbol{\nabla}}\Psi^{*}\right)={\boldsymbol{\nabla}}\Psi^{*}\cdot{\boldsymbol{\nabla}}\Psi+\Psi^{*}\nabla^{2}\Psi-{\boldsymbol{\nabla}}\Psi\cdot{\boldsymbol{\nabla}}\Psi^{*}-\Psi\nabla^{2}\Psi^{*}}  。

這方程式右手邊第一個項目與第三個項目互相抵銷，將抵銷後的方程式代入， d P d t = − ∫ V ∇ ⋅ [ ℏ 2 m i ( Ψ ∗ ∇ Ψ − Ψ ∇ Ψ ∗ ) ] d 3 r {\displaystyle{\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}t}}=-\int_{\mathbb{V}}{\boldsymbol{\nabla}}\cdot\left[{\frac{\hbar}{2mi}}\left(\Psi^{*}{\boldsymbol{\nabla}}\Psi-\Psi{\boldsymbol{\nabla}}\Psi^{*}\right)\right]\,\mathrm{d}^{3}{r}}  。

將機率密度方程式與機率流定義式代入， ∫ V ∂ ρ ∂ t d 3 r = − ∫ V ( ∇ ⋅ J ) d 3 r {\displaystyle\int_{\mathbb{V}}{\frac{\partial\rho}{\partialt}}\,\mathrm{d}^{3}{r}=-\int_{\mathbb{V}}\left({\boldsymbol{\nabla}}\cdot\mathbf{J}\right)\,\mathrm{d}^{3}{r}}  。

這相等式對於任意三維區域 V {\displaystyle\mathbb{V}}  都成立，所以，被積項目在任何位置都必須等於零： ∂ ρ ∂ t + ∇ ⋅ J = 0 {\displaystyle{\frac{\partial\rho}{\partialt}}+{\boldsymbol{\nabla}}\cdot\mathbf{J}=0}  。

參閱編輯 歐拉方程式 諾特定理參考文獻編輯 ^1.01.11.2Pedlosky,Joseph.Geophysicalfluiddynamics.Springer.1987:10–13.ISBN 9780387963877.  ^Clancy,L.J.(1975),Aerodynamics,Section3.3,PitmanPublishingLimited,London 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=連續性方程式&oldid=64695657」