求垂心(Orthocentre)坐標的方法 - 學校沒有教的數學

三角形的垂心就是三角形高線(altitude)的交點。

而高線就是穿過一個頂點並與其對邊互相垂直的直線。

Altitude of a triangle. 三角形高線(altitude). 學校沒有教的數學數學易、易學數閣下在此:首頁»求垂心(Orthocentre)坐標的方法求垂心(Orthocentre)坐標的方法 ThomasFok•03/12/2014已知三角形的頂點坐標，如何找到這個三角形的垂心(orthocentre)的坐標?三角形垂心(orthocentre)先重溫三角形的垂心。

三角形的垂心就是三角形高線(altitude)的交點。

而高線就是穿過一個頂點並與其對邊互相垂直的直線。

三角形高線(altitude)每個三角形都有三條高線，而它們必定相交於一點，該點就是三角形的垂心(orthocentre)。

三角形垂心(orthocentre)上圖的H1及H2便是三角形的垂心。

留意如果該三角形是鈍角三角形，其垂心位於三角形之外。

求垂心坐標求垂心坐標的方法，就是從高線的性質入手。

而高線就是與三角形的其中一條邊互相垂直。

參考下圖，假設H點是三角形的垂心。

藍線的斜率就是線段CH的斜率。

而該線與線段AB互相垂直。

因此它們的斜率的積是−1。

即是$$m_{\smallCH}\cdotm_{\smallAB}=-1$$ 由於每個三角形有三條高線，用同樣方式，可得到三條方程：$$\begin{cases}m_{\smallCH}\cdotm_{\smallAB}=-1\\m_{\smallBH}\cdotm_{\smallAC}=-1\\m_{\smallAH}\cdotm_{\smallBC}=-1\end{cases}$$只要設垂心的坐標為(h,k)，任意選取以上方程的其中兩條，建立兩條聯立方程，解方程後便能找到其垂心的坐標。

例子:已知三點A(2,1),B(6,2)及C(4,4)，求ΔABC的垂心的坐標。

題解:設垂心坐標為H(h,k)$$\begin{align*} m_{\smallAH}\cdotm_{\smallBC}&=-1\\ \frac{k-1}{h-2}\cdot\frac{4-2}{4-6}&=-1\\ \frac{k-1}{h-2}\cdot\frac{2}{-2}&=-1\\ \frac{k-1}{h-2}\cdot(-1)&=-1\\ \frac{k-1}{h-2}&=1\\ k-1&=h-2\\ h&=k+1….(1) \end{align*}$$$$\begin{align*} m_{\smallBH}\cdotm_{\smallAC}&=-1\\ \frac{k-2}{h-6}\cdot\frac{4-1}{4-2}&=-1\\ \frac{k-2}{h-6}\cdot\frac{3}{2}&=-1\\ \frac{k-2}{h-6}&=\frac{-2}{3}\\ 3k-6&=-2h+12\\ 2h+3k&=18….(2) \end{align*}$$解方程(1)及(2)，得到$$h=\frac{21}{5},\k=\frac{16}{5}$$∴垂心的坐標=##\large(\frac{21}{5},\frac{16}{5})##附註如果該三角形是鈍角三角形，這方法同樣適用。

如果三角形的其中一條邊是垂直線，該邊的斜率是無定義(undefined)；同樣如其中一條邊是水平線，其斜率是零。

在這兩個情況下，均無法建立其相關的方程。

因此須要運用另外兩條方程來求取答案。

如下圖所示，該三角形同時擁有垂直線和水平線，應怎樣處理?答案其實很簡單，A點就是該三角形的垂心。

總結設H(h,k)為三角形的垂心(Orthocentre)$$\begin{cases}m_{\smallCH}\cdotm_{\smallAB}=-1\\m_{\smallBH}\cdotm_{\smallAC}=-1\\m_{\smallAH}\cdotm_{\smallBC}=-1\end{cases}$$以上的聯立方程便是求取垂心坐標的方法。

留意這方程其實很簡單，不須要死背，第一個斜率就是三角形其中一頂點與垂心之線段的斜率，而第二個斜率就是餘下兩個頂點之線段的斜率。

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