最小上界- 維基百科，自由的百科全書 - Wikipedia

最小上界，亦稱上確界（英語：Supremum，記為sup E）是數學中序理論的一個重要概念，在格論和數學分析等領域有廣泛應用。

實數集合A（藍色球），A 的上界集合（紅色 ... 最小上界 維基百科，自由的百科全書 跳至導覽 跳至搜尋 建議此條目或章節與最大下界合併。

（討論） 實數集合A（藍色球），A的上界集合（紅色球），和A的最小上界也就是上確界（紅色菱形）。

最小上界，亦稱上確界（英語：Supremum，記為supE）是數學中序理論的一個重要概念，在格論和數學分析等領域有廣泛應用。

目次 1定義 2數學分析中的上確界 2.1例子 3參考文獻 4外部連結 5參見 定義[編輯] 給定偏序集合(T,≤)，對於S⊆T，S的上確界sup(S)定義為S的所有上界組成的集合的最小元（若有）。

即sup(S)滿足： ∀s∈S⇒s≤sup(S) ∀t∈T，若t滿足∀s∈S⇒s≤t，則有sup(S)≤t。

sup(S)∈T。

上確界也被稱為最小上界、lub或LUB，在格論中也被稱為並，在序理論中S的上確界也被記為 ∨ {\displaystyle\vee} S。

若S包含最大元素，則該元素就是上確界。

若S有上確界，則上確界是唯一的。

上確界的對偶概念最大下界叫做下確界或交。

偏序集合的子集可能沒有上確界，即使它有上界。

上確界一定不能混淆於極小，上界，極大元或最大元。

數學分析中的上確界[編輯] 在數學分析中，實數的集合S的上確界或最小上界記為sup(S)，並被定義為大於或等於S中所有成員的最小實數。

實數的一個重要性質是它的完備性：實數集合的所有非空子集是有上界的就是這個實數集合成員的上確界。

例子[編輯] sup { 1 , 2 , 3 } = 3 {\displaystyle\sup\{1,2,3\}=3\,} sup { x ∈ R : 0 < x < 1 } = sup { x ∈ R : 0 ≤ x ≤ 1 } = 1 {\displaystyle\sup\{x\in\mathbb{R}:0