内切圆- 维基百科，自由的百科全书

它亦是多邊形內部最大的圓形。

内切圓的圓心被稱為該多邊形的内心。

三角形的角平分線會相交於內切圓 ... 內切圓 語言 監視 編輯 在數學中，若一個二維平面上的多邊形的每條邊都能與其內部的一個圓形相切，該圓就是多邊形的內切圓，這時稱這個多邊形為圓外切多邊形。

它亦是多邊形內部最大的圓形。

內切圓的圓心被稱為該多邊形的內心。

三角形的角平分線會相交於內切圓的圓心 一個多邊形至多有一個內切圓，也就是說對於一個多邊形，它的內切圓，如果存在的話，是唯一的。

並非所有的多邊形都有內切圓。

三角形和正多邊形一定有內切圓。

擁有內切圓的四邊形被稱為圓外切四邊形。

目次 1三角形的內切圓 1.1性質 2四邊形的內切圓 3正多邊形的內切圓 4參考文獻 5參見 三角形的內切圓編輯 任何三角形 A B C {\displaystyleABC}  都有內切圓。

這個內切圓的圓心稱為內心，一般標記為I，是三角形內角平分線的交點[1]。

在三線坐標，內心是1:1:1。

性質編輯 內切圓的半徑為 2 △ a + b + c {\displaystyle{\frac{2\triangle}{a+b+c}}}  ，當中 △ {\displaystyle\triangle}  表示三角形的面積。

以內切圓和三角形的三個切點為頂點的三角形 T A T B T C {\displaystyleT_{A}T_{B}T_{C}}  是 A B C {\displaystyleABC}  的內接三角形之一。

A B C {\displaystyleABC}  的內切圓就是 T A T B T C {\displaystyleT_{A}T_{B}T_{C}}  的外接圓。

而 A T A {\displaystyleAT_{A}}  、 B T B {\displaystyleBT_{B}}  和 C T C {\displaystyleCT_{C}}  三線交於一點，它們的交點就是熱爾崗點（Gergonnepoint）。

內切圓與九點圓相切，切點稱作費爾巴哈點（見九點圓）。

若以三角形的內切圓為反演圓進行反演，則三角形的三條邊和外接圓會分別變為半徑相等的四個圓（半徑都等於內切圓半徑的一半）。

[2]三角形的外接圓半徑R、內切圓半徑r以及內外心間距OI之間有如下關係： R 2 − O I 2 = 2 R r {\displaystyleR^{2}-OI^{2}=2Rr}  [3]直角三角形兩股和等於斜邊長加上該三角形內切圓直徑 a + b = c + 2 r {\displaystylea+b=c+2r}  由此性質再加上勾股定理 a 2 + b 2 = c 2 {\displaystylea^{2}+b^{2}=c^{2}}  ，可推得： △ = r ( r + c ) {\displaystyle\triangle=r(r+c)}  在直角座標系中，若頂點的座標分別為 ( x 1 , y 1 ) {\displaystyle(x_{1},y_{1})}  、 ( x 2 , y 2 ) {\displaystyle(x_{2},y_{2})}  、 ( x 3 , y 3 ) {\displaystyle(x_{3},y_{3})}  ，則內心的座標為： ( a x 1 + b x 2 + c x 3 a + b + c , a y 1 + b y 2 + c y 3 a + b + c ) {\displaystyle({\frac{ax_{1}+bx_{2}+cx_{3}}{a+b+c}},{\frac{ay_{1}+by_{2}+cy_{3}}{a+b+c}})}  [4]四邊形的內切圓編輯 不是所有的四邊形都有內切圓，擁有內切圓的四邊形稱為圓外切四邊形。

凸四邊形ABCD有內切圓若且唯若兩對對邊之和相等： A B + C D = A D + B C {\displaystyleAB+CD=AD+BC}  。

圓外切四邊形的面積和內切圓半徑的關係為： S A B C D = r s {\displaystyleS_{ABCD}=rs}  ，其中s為半周長。

同時擁有內切圓和外接圓的四邊形稱為雙心四邊形。

這樣的四邊形有無限多個。

若一個四邊形為雙心四邊形，那麼其內切圓在兩對對邊的切點的連線相互垂直。

而只要在一個圓上選取兩條相互垂直的弦，並過相應的頂點做切線，就能得到一個雙心四邊形。

正多邊形的內切圓編輯 正多邊形必然有內切圓，而且其內切圓的圓心和外接圓的圓心重合，都在正多邊形的中心。

邊長為a的正多邊形的內切圓半徑為： r n = a 2 cot ⁡ ( π n ) {\displaystyler_{n}={\frac{a}{2}}\cot\left({\frac{\pi}{n}}\right)}  其內切圓的面積為： s n = π r n 2 = π a 2 4 cot 2 ⁡ ( π n ) {\displaystyles_{n}=\pir_{n}^{2}={\frac{\pia^{2}}{4}}\cot^{2}\left({\frac{\pi}{n}}\right)}  內切圓面積 s n {\displaystyles_{n}}  與正多邊形的面積 S n {\displaystyleS_{n}}  之比為： φ n = s n S n = π a 2 4 cot 2 ⁡ ( π n ) n a 2 [ a 2 cot ⁡ ( π n ) ] = π n cot ⁡ ( π n ) {\displaystyle\varphi_{n}={\frac{s_{n}}{S_{n}}}={\dfrac{{\frac{\pia^{2}}{4}}\cot^{2}\left({\frac{\pi}{n}}\right)}{{\frac{na}{2}}\left[{\frac{a}{2}}\cot\left({\frac{\pi}{n}}\right)\right]}}={\frac{\pi}{n}}\cot\left({\frac{\pi}{n}}\right)}  故此，當正多邊形的邊數 n {\displaystylen}  趨向無窮時， lim n → ∞ φ n = lim n → ∞ π n cot ⁡ ( π n ) = lim n → ∞ cos 2 ⁡ ( π n ) = 1 {\displaystyle\lim_{n\to\infty}\varphi_{n}=\lim_{n\to\infty}{\frac{\pi}{n}}\cot\left({\frac{\pi}{n}}\right)=\lim_{n\to\infty}\cos^{2}\left({\frac{\pi}{n}}\right)=1}  參考文獻編輯 ^R.A.詹森，《近代歐氏幾何學》，單墫譯，第158頁，上海教育出版社，ISBN7-5320-6392-5 ^《近代歐氏幾何學》，第163頁 ^《近代歐氏幾何學》，第162頁 ^平面向量教学与三角形内心.[2013-12-05].（原始內容存檔於2020-08-07）.  參見編輯  數學主題 旁切圓 外接圓 九點圓 內切球 雞爪定理——三角形內心、旁心、頂點的位置關係 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=内切圆&oldid=69069099」