歐拉線- 維基百科，自由的百科全書

歐拉線上的四點中，九點圓圓心到垂心和外心的距離相等，而且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半。

注意內心一般不在歐拉線上，除了等腰三角形外。

歐拉線 語言 監視 編輯 在平面幾何中，歐拉線，或稱尤拉線（圖中的紅線）是指過三角形的垂心（藍）、外心（綠）、重心（黃）和九點圓圓心（紅點）的一條直線。

萊昂哈德·歐拉，也稱尤拉，證明了在任意三角形中，以上四點共線。

歐拉線上的四點中，九點圓圓心到垂心和外心的距離相等，而且重心到外心的距離是重心到垂心距離的一半。

注意內心一般不在歐拉線上，除了等腰三角形外。

目次 1證明 2推論 3參考資料 4外部連結 證明編輯   如圖 H , G , O {\displaystyleH,G,O}  分別是 △ A B C {\displaystyle{\triangle}ABC}  的垂心，重心，外心。

設 D {\displaystyleD}  為直線 B O {\displaystyleBO}  和 △ A B C {\displaystyle{\triangle}ABC}  外接圓的交點，並連結 A H , A D , C D , C H {\displaystyleAH,AD,CD,CH}  。

（1） ∵ B D {\displaystyle{\because\quad}BD}  是直徑， ∴ C D ⊥ B C {\displaystyle{\therefore\quad}CD{\perp}BC}  且 A D ⊥ A B {\displaystyleAD{\perp}AB}  。

又 H {\displaystyleH}  是垂心， ∴ A H ⊥ B C {\displaystyle{\therefore\quad}AH{\perp}BC}  且 C H ⊥ A B {\displaystyleCH{\perp}AB}  。

∴ C D / / A H {\displaystyle{\therefore\quad}CD//AH}  ， A D / / C H {\displaystyleAD//CH}  。

A D C H {\displaystyleADCH}  為平行四邊形。

-> A H = D C {\displaystyleAH=DC}   又 O , M {\displaystyleO,\;M}  分別是 B D , C B {\displaystyleBD,\;CB}  的中點， ∴ D C = 2 O M {\displaystyle{\therefore\quad}DC=2OM}  ， A H = 2 O M {\displaystyleAH=2OM}   （2） 作 B C {\displaystyleBC}  邊上的中線 A M , {\displaystyleAM,}  連結 O M , O H {\displaystyleOM,\;OH}   設 O H {\displaystyleOH}  交 A M {\displaystyleAM}  於點 G ′ {\displaystyleG'}   ∵ O M ⊥ B C , △ A H G ′ ∼ △ M O G ′ , A H = D C = 2 O M {\displaystyle{\because\quad}OM{\perp}BC,\;{\triangle}AHG'{\sim\triangle}MOG',\;AH=DC=2OM}  ， ∴ A G ′ = 2 G ′ M {\displaystyle{\therefore\quad}AG'=2G'M}  ， ∴ G ′ {\displaystyle{\therefore\quad}G'}  即 △ A B C {\displaystyle\triangleABC}  的重心 G {\displaystyleG}   ∴ △ A B C {\displaystyle\therefore\quad\triangleABC}  的垂心 H , {\displaystyleH,}  重心 G , {\displaystyleG,}  外心 O {\displaystyleO}  三點共線 , {\displaystyle,}  直線 H G O {\displaystyleHGO}  即歐拉線 推論編輯 九點圓的圓心也在歐拉線上，且在垂心到外心的線段的中點   如圖，H、G、Ω分別是△ABC的垂心、重心、外心，三角形的三邊中點Ii，三高的垂足Hi，和頂點到垂心的三條線段的中點Ji令HΩ和J1I1的交點為K，∵BΩ=CΩ，BI1=CI1，∴ΩI1⊥BC，又∵AH1⊥BC，∴ΩI1∥AH1。

∵∠GΩI1=∠AHG，∠GAH=∠GI1Ω，∴△AGH∽△GΩI1。

∵AG=2GI1，∴AH=2ΩI1，即ΩI1=J1H。

∵ΩI1∥AH1，J1H=ΩI1∴J1K=KI1,HK=KΩ。

同理J2K=KI2，J3K=KI3。

可知K為九點圓圓心。

∵點K在HΩ上，HK=KΩ ∴九點圓圓心在歐拉線上，且在垂心到外心的線段的中點。

參考資料編輯 数学题解辞典·平面几何.上海辭書出版社. 外部連結編輯 AltitudesandtheEulerLine（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） EulerLineand9-PointCircle（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館） 取自「https://zh.wikipedia.org/w/index.php?title=歐拉線&oldid=70950299」